Logaritma

Logaritma

Üstel fonksiyon

a gerçek sayı, n pozitif tam sayı ise, an = a.a.a. … . a dır.

an sayısında üslü sayı, a ya taban , n ye üs denir.
an sayısı, “a üssü n” diye okunur.

1. n z+ ise an a.a . … a,
2. n z- ise an  1a-n ,
3. n  0 ise an a0  1 a  0,
4. n z+ ise a1/ n  x  a  xn ,
5. m/n  q ise am/n   a1/n m dir.

Sıfırdan farklı a gerçek sayısı için, a0  1 dir.

2-5 , 2-3 , 20 , 22/3 gerçek sayıları, üstlü gerçek sayılardır.
Pozitif a gerçek sayısı için, üstleri irasyonel sayı olan a2 , a-2 , a gibi sayılar da üslü gerçek sayılardır.
Pozitif bir gerçek sayının rasyonel kuvvetleri birer gerçek sayıdır. Bu sayıların çarpımı ve bölümüne
ait özellikleri biliyoruz a, 1 den farklı pozitif gerçek sayı, x sayısının görüntüsünün ax üstlü sayısı oldugunu belirten fonksiyonu tanımladım.

tanım
a IR+ ve a  1 olmak üzere, f : IR  IR+, f(x) = ax biçiminde tanımlanan f fonksiyonuna, üstel fonksiyon denir.

f üstel fonksiyonuna göre, x gerçek sayısının (degişkenin) görüntüsü, ax üslü gerçek sayısıdır.
a pozitif gerçek sayı olduğundan, her x gerçek sayısı için f (x)= ax > 0 dır.

Örnek
f(x)= 2x ile tanımlı, f: IR  IR+ üstel fonksiyonu veriliyor.
f(1), f (1/2), f(-1), f(0), f(-3) degerlerini bulalım
Çözüm
f(x) = 2x  f(1)=21=2, f(1/2)=21/2 =2  1,41 … , f(-1)=2-1=1/2, f(0)=20=1, f(-3)=2-3=1/23=1/8 bulunur.

Üstel fonksiyon, üslü ifadelerde gördüğümüz bütün özellikleri IR üzerinde sağlar.
a,b  IR+ , a1, b1 ve x,y IR için aşağıdaki özellikler vardır:

1. ax.ay=ax+y, 2. (ax)y=ax.y, 3. (a.b)x=ax.bx, 4.ax/ay=ax-y,

5.(a/b)x=ax/bx , 6.ax/ay=1/ay-x, 7. a0=1, 8. (1/a)x=a-x

9.aIR+ ve a1 olmak üzere, ax…