Mutlak değer

Tanım sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve │x│ ile gösterilir.

x , R nin elemanıdır ve
│x│ ={x, x > 0 ise
{-x,x < 0 ise şeklinde tanımlanır. │f(x)│ ={f(x),f(x) > 0 ise
{-f(x),f(x)< 0 ise Örnek: x =-3 için │x-5│ - │x+2│ ifadesinin eşiti kaçtır? Çözüm: │-3-5│ - │-3+2 │ = 8-1=7 Örnek: a 0,x elemanıdır R ve │x│< a ise -a 0,x elemanıdır R,│x│≥ a ise x≥ a veya x ≤ -a dır.
10)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI
11)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a
12)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a 13)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a

İSPATLAR

Öz.1)a = 0 ise IaI = I0I = 0
a > 0 ise IaI = a >0
a < 0 ise IaI = -a >0 dır.
O halde IaI > 0 dır.
Öz.2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır.
Öz.6) a elemanıdır R için -IaI ≤ a ≤ IaI
b elemanıdır R için -IbI ≤ b≤ IbI
+
-IaI-IbI≤a+b≤IaI+IbI
O halde Ia+bI < IaI+IbI dir. Öz.7) a,b elemanıdır R için Ia.bI=IaI.IbI idi. Ia nI=Ia.a.a...aI=IaI.IaI.IaI...IaI=IaIn dir. (n tane) ( n tane ) Öz.3)a sayısı için a<0,a=0,a>0 durumlarından biri vardır.
a)a < 0 ise IaI = -a dır. IaI > 0 olduğundan -IaI < 0 dır. -IaI= a <0 < IaI ise -IaI < a < IaI dır. b)a=0 ise IaI = I0I = 0 ve -Ia I= 0 olacağından –IaI < a < IaI dır. c)a > 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır. -IaI≤ 0≤ IaI = a ise -IaI < a < IaI dır. MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz. Çözüm:I3x-7I = 5 ise; 3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur. 1- 3x-7 = 5 2- 3x-7=-5 3x = 12 3x = 2 x = 4 x = 2/3 Ç={4,2/3} Soru:Ix-7I = 7-x eşitliğini sağlayan kaç tane doğal sayı vardır? Çözüm: Ix-7I = 7-x ise x-7 < 0 ise x < 7olup x doğal sayıları 0,1,2,3,4,5,6,7 dir. O halde 8 tane doğal sayı vardır. Soru: = 2 denkleminin çözüm kümesi nedir ? Çözüm: = 2 5-2x/3=2 veya 5-2x/3= -2 5-2x = 6 veya 5-2x = -6 x = -1/2 veya x = 11/2 Ç ={-1/2,11/2} Soru:I 4+I2x-3I I = 5 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı nedir? Çözüm: I 4+I2x-3I I = 5 4+I2x-3I = 5 veya 4+I2x-3I = -5 I2x-3I = 1 veya I2x-3I = -9 2x-3 = 1 veya 2x-3 = -1 Çözüm x = 2 x = 1 O halde x+x = 2+1 = 3 olur. Uyarı:Hiçbir reel sayının mutlak değeri negatif olamayacağından, denklemin çözüm kümesi boş küme () olur. MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER Soru: Ix-7I < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Ix-7I < 3 = -3 < x-7 < 3 = -3+7 < x < 3+7 =4 2 eşitsizliğini çözünüz.
Çözüm:I 3x+2I+9 > 2 = I 3x+2I > -7
***Bu eşitsizlik x in her değeri için sağlanır.Bu nedenle; Çözüm kümesi R dir.

Soru: I Ix-5I-2 I < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır? Çözüm:I Ix-5I-2 I < 3 = -3 < Ix-5I -2 < 3 = -1 < Ix-5I < 5 Ix-5I >-1 eşitsizliği daima doğrudur.
Ix-5I < 5 = -5 < x-5 < 5 = 0 < x < 10 Bu aradaki tamsayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olup 9 tamsayı vardır. Soru: I 2x-7 I < 2 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır? Çözüm:I 2x-7 I < 2 = -2 < 2x-7 < 2 = -2+7 < 2x < 2+7 = 5 < 2x < 9 = 5/2 < x < 9/2 Bu durumda çözüm kümesi {3,4} olur. Soru: I 3x+1 I > -8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: x elemanıdır R için I 3x+1 I > 0 olduğundan
I 3x+1 I > -8 eşitsizliği daima doğrudur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Reel sayılar kümesidir.

Soru: I 3-3x I < 9 eşitsizliğinin R deki çözüm kümesi nedir? a) 0 -2 x > 2 veya x < -2 dir. Soru 5: |x-1| = 3 => x-1=3 veya x – 1 = -3
x = 4 veya x = -2 dir.
Soru 6: a x – 5 = 3 veya x -5 = -3 tür.
x = 8 veya x = 2
x = 8 veya x =- 8 veya
x = 2 veya x =- 2 dir.
Ç.K. = {-8, -2, 2, 8} dir.
Soru 8: ||x-l| + 4| = 6=>x-1 + 4 = 6 veya
x-1 + 4 = -6 lx-1l = 2 veya lx-1l = -10 olur.
x-1 = – 10 olamayacağından kök yoktur.
x-1 = 2 ise x – 1 = 2 veya x – 1 = -2 x = 3 veya x = -1 dir.
Ç.K = {-1,3}

Soru 9: I 3x-1 I+5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm: I 3x-1 I+5 = 0 ise I 3x-1 I = -5 olur.
*** a elemanıdır R için IaI > 0 dır.
Bu nedenle sorunun çözüm kümesi O dir.
Soru 10: I Ix-4I -5 I = 10 denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
Çözüm: I Ix-4I –5 I = 10

Ix-4I-5 =10 veya Ix-4I-5 = -10
Ix-4I = 5 veya Ix-4I = -5
Ç = {O}
x-4 = 15 veya x-4 = -15 x = 19 veya x = -14

Soru11: I Ix-1I+5 I = 8 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
a) -2 b) 0 c) 2 d) 4 e)14

Çözüm: I Ix-1I+5 I = 8

I Ix-1I+5 I = 8 veya I Ix-1I+5 = -8
Ix-1I = 3 veya Ix-1I = -13
Ç = {O}
x-1 = 3 veya x-1 = -3
x = 4 veya x = -2
x+x = 4+(-2) = 2 ( Cevap C dir.)

Soru 12: I Ix-2I-3 I = 7 denkleminin kökleri toplamı kaçtır?
a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12

Çözüm: I Ix-2I-3 I = 7

Ix-2I-3 = 7 veya Ix-2I-3 = -7
Ix-2I = 10 veya Ix-2I = -4
Ç = {O}
x-2 = 10 veya x-2 = -10
x = 12 veya x = -8
x+x = 12-(-8) = 4 ( Cevap B dir.)

Soru 13: I 7-(3-I-5I) I işleminin sonucu nedir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

Çözüm:
I 7-(3-I-5I) I = I 7-[3- -(-5)] I

= I 7-[3-5] I
= I 7-(-2) I
= I 7+2 I
= I 9 I = 9

Soru 14: I Ix-2I-5 I = 1 denklemini sağlayan x tam sayıları nelerdir?
a) 3,6,-3,-6 b) 4,8,-3,-8 c) 7,9,5 d) 8,-4,6,-2 e) 2,-2

Çözüm: I Ix-2I-5 I

Ix-2I-5 = 1 veya Ix-2I-5 = -1
Ix-2I = 6 veya Ix-2I = 4
x-2 = 6 veya x-2 = -6 x-2 = 4 veya x-2 = -4
x = 8 x = -4 x = 6 x = -2

Soru 15: Ix+2I < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır? a) 13 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 (ÖSS 1999) Çözüm: Ix+2I < 4 = -4 < x + 2 <4 = -6 < x < 2 Eşitsizliği oluşturan tamsayılar –6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2 dir. ( Cevap A dır.) Soru 16: IxI < 6 olduğuna göre,x-2y+2 = 0 koşulunu sağlayan kaç tane y tamsayısı vardır? a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 (ÖSS 2000) Çözüm: IxI 0 dan küçük olmayacağından IxI 0,1,2,3,4,5,6 olabilir. x-2y+2 = 0 koşulunu çift sayılar oluşturur.Bunlar 0,2,4,6 dır.Bu sayılar y yi tamsayı yapar. ( Cevap D dir.) Soru 17: f(x) = 12 fonksiyonunun en büyük değeri Ix-1I+Ix+3I nedir? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Çözüm: x elemanıdır [-3,1] için f(x) en büyük olur. X = -3 ise, f(-3) = 12 = 12/4 =3 tür. I-3-1I+I-3+3I ( Cevap B dir.) Soru 18:x-1 6 olduğuna göre, x - 2y + 2 = O koşulunu sağlayan kaç tane y tamsayısı vardır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 (2000-ÖSS) ÇÖZÜM x-2y + 2 = 0 => x = 2y- 2 dir.
x < 6 => 2y – 2 6 => -6  2y – 2 < 6 dır. Buradan, -4 < 2y < 8 => -2 < y < 4 bulunur. Bu koşulu sağlayan y tamsayıları -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 olup 7 tanedir. Cevap: A'dır. Soru 19:x+24 eşitsizliğini sağlayan kaç tane tamsayı vardır? A) 13 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 (1999-ÖSS) ÇÖZÜM x+24 ise < 4 ise -4 < x + 2 < 4 -4-2 x = – 2 dir.
0 < x < 4 için, -x + 4 + x = 8 olur. 4 = 8 olduğundan bu aralıkta sağlayan x değeri yoktur. x > 4 için, x – 4 + x = 8 olur.
2x = 12 => x = 6 dır.
x değerleri toplamı -2 + 6 = 4 olur.
Cevap: B’dir.

Soru 23: x < 0 < y olduğuna göre 3. |x-y| |y+|x| | y+ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A)-3x B)-3y C) 3 (x + y) D) - 3 E) 3 (1995-ÖSS) ÇÖZÜM 3 |x - y| ifadesinde (x - y) < 0 olduğundan 3 |x - y| = - 3 (x - y) olur. Benzer şekilde x<0 => |x| = – x olur.
| y + |x| | = |y-x| = y-x
+
3(x-y) = -3(x-y) =3
y-x -(x-y)
Cevap: E’dir