{"id":3175,"date":"2011-10-06T14:54:46","date_gmt":"2011-10-06T11:54:46","guid":{"rendered":"http:\/\/www.islamidavet.com\/kutuphane\/\/?p=3175"},"modified":"2011-10-06T14:54:46","modified_gmt":"2011-10-06T11:54:46","slug":"aritmetik-ve-geometrik-diziler-seriler","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.islamidavet.com\/kutuphane\/aritmetik-ve-geometrik-diziler-seriler\/","title":{"rendered":"Aritmetik ve geometrik diziler, seriler"},"content":{"rendered":"<p>AR\u0130TMET\u0130K ve GEOMETR\u0130K D\u0130Z\u0130LER, SER\u0130LER<\/p>\n<p> Aritmetik Dizi<\/p>\n<p> A.TANIM<br \/>\n Ard\u0131\u015f\u0131k iki terimin aras\u0131ndaki fark, ayn\u0131 sabit bir say\u0131 olan dizilere aritmetik dizi denir. Di\u011fer bir ifadeyle &#8221; n \u00ce N+ i\u00e7in, an+1 \u2013 an = d olacak \u015fekilde bir d \u00ce R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d say\u0131s\u0131na da ortak fark denir.<br \/>\n \u00d6RNEK<br \/>\n (an) = (n+10)\/5 dizisinin aritmetik dizi oldu\u011funu g\u00f6steriniz. Ortak fark\u0131n\u0131 bulunuz.<\/p>\n<p> an+1 \u2013 an = (n+1+10)\/5 \u2013 (n+10)\/5 = 1\/5 oldu\u011funa g\u00f6re (an), ortak fark\u0131 d = 1\/5 olan bir aritmetik dizidir.<\/p>\n<p> B.GENEL TER\u0130M<br \/>\n Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak fark\u0131 d = 1 olan bir aritmetik dizidir.<br \/>\n 5<br \/>\n a1 = a1<br \/>\n a2 = a1 + d<br \/>\n a3 = a2 + d = a1 + 2d<br \/>\n a4 = a3 + d = a1 + 3d<br \/>\n &#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;&#8230;..<br \/>\n an = an \u2013 1 + d = a1 + (n \u2013 1)d dir.<br \/>\n Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n \u2013 1)d dir.<br \/>\n \u00d6RNEK<br \/>\n \u0130lk terimi 8 ve ortak fark\u0131 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?<br \/>\n a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n \u2013 1) d<br \/>\n an = 8 + (n \u2013 1) 2<br \/>\n an = 2n + 6\u2019d\u0131r.<br \/>\n C.AR\u0130TMET\u0130K D\u0130Z\u0130N\u0130N \u00d6ZELL\u0130KLER\u0130<br \/>\n Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap \u2013 ak dir.<br \/>\n p &#8211; k<br \/>\n \u00d6RNEK<br \/>\n 39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak fark\u0131 ka\u00e7t\u0131r?<br \/>\n a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 \u2013 a39)\/(45 \u2013 39)<br \/>\n d = (22 \u2013 19)\/6<br \/>\n d = \u00bd\u2019 dir.<\/p>\n<p> a ve b gibi iki say\u0131 aras\u0131na n tane terim yerle\u015ftirilerek olu\u015fturulan aritmetik dizinin ortak fark\u0131 :<br \/>\n d = b \u2013 a d\u0131r.<br \/>\n n + 1<br \/>\n \u00d6RNEK<br \/>\n &#8211; 8 ve 28 say\u0131lar\u0131 aras\u0131na 8 tane terim yerle\u015ftirilerek olu\u015fturulan aritmetik dizinin ortak fark\u0131 ka\u00e7t\u0131r?<\/p>\n<p> a = -8, b = 28 ve n = 8 oldu\u011funa g\u00f6re, d = (b \u2013 a)\/(n+1) = [28 \u2013 (-8)]\/(8+1) = 36\/9 = 4<br \/>\n Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplam\u0131 Sn ile g\u00f6sterilirse,<br \/>\n Sn = n [2a1 + (n \u2013 1)d] ya da<br \/>\n 2<br \/>\n Sn = n (a1 + an) olur.<br \/>\n 2<br \/>\n Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden e\u015fit uzakl\u0131kta iki terimin kendisinden e\u015fit uzakl\u0131ktaki iki terimin aritmetik ortalamas\u0131na e\u015fittir. Di\u011fer bir ifadeyle k<\/p>\n<p iken,\n ap = ap \u2013 k +ap + k d\u0131r.\n 2\n \u00d6RNEK\n 19. terimi 42 ve 33. terimi 88 olan aritmetik dizinin 26. terimi ka\u00e7t\u0131r?\n\n a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)\/2 = 26 oldu\u011fu i\u00e7in,\n a26 = (a19+a33)\/2\n a26 = (42+88)\/2\n a26 = 65\u2019tir.\n\n GEOMETR\u0130K D\u0130Z\u0130\n TANIM\n Ard\u0131\u015f\u0131k iki terimin oran\u0131 ayn\u0131 sabit bir say\u0131 olan dizilere geometrik dizi denir. Di\u011fer bir ifadeyle\n \" n \u00ce N+ i\u00e7in, an + 1 = r olacak \u015fekilde bir r \u00ce R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r say\u0131s\u0131na ortak\n an\n \u00e7arpan veya ortak oran denir.\n \u00d6RNEK\n (an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi oldu\u011funu g\u00f6steriniz. Dizinin ortak \u00e7arpan\u0131n\u0131 bulunuz.\n\n (an+1)\/an = (2n+1+5)\/2n+5 = 2oldu\u011funa g\u00f6re (an), ortak \u00e7arpan\u0131 r = 2 olan geometrik bir dizidir.\n GENEL TER\u0130M\n Dizinin ilk terimi a1 ve ortak \u00e7arpan\u0131 r olsun. Bu durumda,\n a1 = a1\n a2 = r.a1\n a3 = r.a2 = r2.a1\n a4 = r.a3 = r3.a1\n Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn \u2013 1.a1 veya an = rn \u2013 p.ap dir.\n \u00d6RNEK\n \u0130lk terimi 14 ve ortak \u00e7arpan\u0131 \u00bd olan geometrik dizinin genel terimi nedir?\n\n a1 = 4 ve r = \u00bd an = rn \u2013 1 . a1\n an = (1\/2)n \u2013 1 . 4\n an = 23 - n\n GEOMETR\u0130K D\u0130Z\u0130N\u0130N \u00d6ZELL\u0130KLER\u0130\n Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak \u00e7arpan : rp \u2013 k = ap e\u015fitli\u011finde bulunur.\n ak\n \u00d6RNEK\n 2. terimi 3\/5 ve 5. terimi 75 olan geometrik dizinin ortak \u00e7arpan\u0131 nedir?\n\n\n a2 = 3\/5 ve a5 = 75 r5 \u2013 2 = a5\/a2\n r3 = 75\/3\/5\n r3 = 125\n r = 5 tir.\n\n Geometrik dizinin ilk n teriminin toplam\u0131 Sn ile g\u00f6sterilirse Sn = a1.1 \u2013 rn olur.\n 1 \u2013 r\n \u00d6RNEK\n \u0130lk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplam\u0131 42 olan geometrik dizinin 3. terimi nedir?\n\n a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 . (1 \u2013 r3)\/(1 \u2013 r)\n\n Bir geometrik dizide, her terim kendisinden e\u015fit uzakl\u0131ktaki iki terimin geometrik ortalamas\u0131na e\u015fittir. Di\u011fer bir ifadeyle k < p iken, ap = d\u0131r.\n \u00d6RNEK\n 3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?\n\n a3 = ve a5 = (a3 . a7)1\/2 6 = (3 . a7)1\/2 36 = 3 . a7 a7 = 12\u2019dir.\n SONU\u00c7:\n Sabit dizi, ortak fark\u0131 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi, ortak \u00e7arpan\u0131 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi, ortak \u00e7arpan\u0131 1 olan geometrik bir dizidir. Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.\n \u00d6RNEK:\n Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak \u00e7arpan\u0131 6, n. terimi y\u2019dir. Bu dizinin, ilk n teriminin toplam\u0131n\u0131n x ve y\u2019ye ba\u011fl\u0131 ifadesi a\u015fa\u011f\u0131dakilerden hangisidir?\n\n a1 = x, r = 6 ve an = y oldu\u011funa g\u00f6re, an = a1rn \u2013 1 y = x.6n \u2013 1 6n = 6y\/x ... (*)\n Sn = a1.(1 \u2013 rn)\/(1 \u2013 r) = x . (1 \u2013 6n)\/(1 \u2013 6) = x . (1 \u2013 6y\/x)\/(-5) = (6y \u2013 x)\/5 dir.\n\n SER\u0130LER\n A. TANIM\n (an) reel terimli bir dizi olsun.\n = a1+a2+a3+ ...+an + ... sonsuz toplam\u0131na seri denir.\n an\u2019e serinin genel terimi denir.\n Serinin ilk n teriminin toplam\u0131ndan olu\u015fan Sn = a1+a2+a3+ ...+an toplam\u0131na serinin n. k\u0131smi toplam\u0131 denir.\n (Sn) = (S1,...,S2,...,S3,...,Sn,...) dizisine k\u0131smi toplamlar dizisi denir.\n a) (Sn) dizisi yak\u0131nsak ise serisi de yak\u0131nsakt\u0131r ve serinin toplam\u0131 = lim Sn\u2019 dir.\n b) (Sn) dizisi \u0131raksak ise seriside \u0131raksakt\u0131r.\n serisi yak\u0131nsak ise lim an = 0\u2019d\u0131r. Bu ifadenin tersi do\u011fru de\u011fildir.Yani, lim an = 0 iken serisi yak\u0131nsak olmayabilir.\n lim an \u00b9 0 ise serisi \u0131raksakt\u0131r.\n \u00d6RNEK\n 2n\/5-n serisi veriliyor. Serinin \u0131raksak oldu\u011funu g\u00f6steriniz.\n\n an = 2n\/5-n = 2n.5n = 10n dir. lim an = lim 10n = \u00a5 dur. lim an \u00b9 0 oldu\u011funa g\u00f6re seri \u0131raksakt\u0131r.\n\n B. AR\u0130TMET\u0130K VE GEOMETR\u0130K SER\u0130LER\n Aritmetik Seriler\n (an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir. Aritmetik serinin k\u0131smi toplam\u0131 Sn = n (a1+a2)\u2019dir. Aritmetik seri \u0131raksakt\u0131r.\n 2\n \u00d6RNEK\n (n \u2013 10)\/20 serisi veriliyor. Serinin, aritmetik seri oldu\u011funu g\u00f6steriniz. Serinin k\u0131smi toplam\u0131n\u0131 bulunuz. Serinin \u0131raksak oldu\u011funu g\u00f6steriniz.\n \" n \u00ce N+ i\u00e7in d = an +1 \u2013 an =(n+1-10)\/20 \u2013 (n-10)\/20 = 1\/20 oldu\u011fu i\u00e7in seri aritmetik seridir.\n a1 = -9\/20 ve an = (n \u2013 10)\/20 oldu\u011funa g\u00f6re, Sn =n\/2(a1+an) = n\/2[-9\/20 + (n \u201310)\/20]\n =n(n \u2013 19)\/40 = \u00a5\n oldu\u011funa g\u00f6re (Sn) k\u0131smi toplamlar dizisi \u0131raksakt\u0131r. (Sn) k\u0131smi toplamlar dizisi \u0131raksak oldu\u011fu i\u00e7in sorulan seri \u0131raksakt\u0131r.\n\n Geometrik Seriler\n (an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir. Geometrik serinin k\u0131smi toplam\u0131 Sn = a1.1-rn\u2019dir.\n 1-r\n |r| < 1 ise seri yak\u0131nsakt\u0131r ve serinin toplam\u0131: = a1\u2019dir.\n 1-r\n |r| \u00b3 1ise seri \u0131raksakt\u0131r.\n\n \u00d6RNEK\n\n 31-n serisi veriliyor.\n Serinin, geometrik seri oldu\u011funu g\u00f6steriniz, serinin k\u0131smi toplam\u0131n\u0131 bulunuz, serinin yak\u0131nsak oldu\u011funu g\u00f6steriniz, serinin toplam\u0131n\u0131 bulunuz.\n\n \" n \u00ce N+ i\u00e7in, r = (an+1)\/an = 31-(n+1)\/31-n = 1\/3 oldu\u011fu i\u00e7in seri geometrik seridir.\n\n a1 = 1 ve r = 1\/3 oldu\u011funa g\u00f6re,\n Sn = 1 . [1 \u2013 (1\/3)n]\/(1 \u2013 1\/3) = 3\/2[1 \u2013 (1\/3)n] dir.\n\n r = 1\/3 oldu\u011funa g\u00f6re |r| = |1\/3| = 1\/3 < 1 dir. Bunu i\u00e7in seri yak\u0131nsakt\u0131r.\n\n Seri yak\u0131nsak oldu\u011funa g\u00f6re toplam\u0131 31 \u2013 n = a1\/(1 \u2013 r) = 1\/(1 \u2013 1\/3) = 3\/2 dir\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>AR\u0130TMET\u0130K ve GEOMETR\u0130K D\u0130Z\u0130LER, SER\u0130LER Aritmetik Dizi A.TANIM Ard\u0131\u015f\u0131k iki terimin aras\u0131ndaki fark, ayn\u0131 sabit bir say\u0131 olan dizilere aritmetik dizi denir. Di\u011fer bir ifadeyle &#8221; n \u00ce N+ i\u00e7in, an+1 \u2013 an = d olacak \u015fekilde bir d \u00ce R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d say\u0131s\u0131na da ortak fark denir. \u00d6RNEK (an) = &hellip;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1404,1403],"tags":[7402,7400,7403,7401],"class_list":["post-3175","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematik-odevleri","category-odevler","tag-aritmetik-dizi","tag-aritmetik-ve-geometrik-diziler","tag-geometrik-dizi","tag-seriler"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.islamidavet.com\/kutuphane\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3175","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.islamidavet.com\/kutuphane\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.islamidavet.com\/kutuphane\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.islamidavet.com\/kutuphane\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.islamidavet.com\/kutuphane\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3175"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.islamidavet.com\/kutuphane\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3175\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.islamidavet.com\/kutuphane\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3175"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.islamidavet.com\/kutuphane\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3175"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.islamidavet.com\/kutuphane\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3175"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}